Аннотация
Рассматривается динамическая система с периодическими коэффициентами зависящая от скалярного параметра. Одной из наиболее актуальных задач в теории дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами является исследование поведения системы в окрестности стационарных решений. Особо актуальными представляются исследования поведения системы в предположении, что стационарное решение является негиперболическим. В этом случае в системе происходит различные бифуркационные явления, возникают новые периодические или квазипериодические решения и т. д. В данной статье рассматривается задача о бифуркации вынужденных колебаний динамических систем с периодическими коэффициентами. Приводятся главные асимптотики вынужденных колебаний и соответствующих значений параметров, которые приводят новым критериям устойчивости возникающих периодических решений. Полученные формулы позволяют доказать обмен устойчивостью между нулевой точкой равновесия и возникающими при бифуркации решениями.
Ключевые слова
Бифуркация, вынужденные колебания, периодические решения, устойчивость, обмен устойчивостью.
1. Арнольд, В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика', 2000.
2. Гукенхеймер, Дж. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. – Москва-Ижевск : Ин-т компьют. исслед., 2002.
3. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов. – М.: Мир, 1975. – 740 c.
4. Красносельский, М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1966.
5. Красносельский, М. А. Метод функционализации параметра в проблеме собственных значений / М.А. Красносельский, , М.Г. Юмагулов // ДАН России. – 1995. –Т. 365, № 2, – С. 162-164.
6. Нейштадт, А.И. О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях I, II. // Дифференциальные уравнения. – 1987. – Т.23, Вып.12. – С. 2060-2067.
7. Острейковский, В.А. Анализ устойчивости и управляемости динамических систем методами теории катастроф. – М. : Высш. шк., 2005.
8. Методы качественной теории в нелинейной динамике / Л.П. Шильников [и др.]. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. – Ч. 1.
9. Rachinskii, D. Dynamic Hopf bifurcations generated by nonlinear terms / D. Rachinskii, K. Schneider // J. Different. Equat. – 2005. – V.210. – P.65-86.
10. Розо, М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. – М. : Наука, 1971. – 288c.
11. Юмагулов, М.Г. Операторный метод исследования правильной бифуркации в многопараметрических системах // Доклады Академии наук. – 2009. – Т. 424, № 2. – C. 177-180.
12. Ибрагимова Л.С. Функционализация параметра и ее приложения в задаче о локальных бифуркациях динамических систем / Л.С. Ибрагимова, М.Г. Юмагулов // Автоматика и телемеханика. – 2007. – № 4. – С. 3-12.
13. Операторный метод исследования локальных бифуркаций многопараметрических динамических систем / М.Г. Юмагулов [и др.] // Вестник Санкт-Петербургского госуниверситета. Серия 10 (Прикладная математика, информатика, процессы управления). – 2009. – вып. 2. – С. 146-155.
14. Юмагулов, М.Г. Исследование локальных бифуркаций вынужденных колебаний динамических систем / М.Г. Юмагулов, С.А. Муртазина // Автомат. и телемех. – 2012. – № 4. – С. 83-98.
15. Юмагулов, М.Г. Задача о субгармонических колебаниях уравнения Дуффинга / М.Г. Юмагулов, Э.С. Суюндукова // МиПОС. – 2012. – № 2.– С. 125-129.
Муртазина С. А. Главные асимптотики вынужденных колебаний однопараметрических динамических систем // Математическое и программное обеспечение систем в промышленной и социальной сферах. – 2016. – Т.4. – №2 – C. 17-20.