Аннотация
В работе была получена формула сложения для четных сферических гармоник, которая послужила основой для вывода формулы первого регуляризованного следа оператора Лапласа с потенциалом на проективной плоскости. Благодаря ей удалось обойти нахождение асимптотических формул для присоединенных полиномов Лежандра по трем параметрам, что являлось неразрешимой задачей в течение длительного времени. Полученные результаты стали основой для вычисления поправок теории возмущений с последующим выходом на формулы регуляризованных следов эллиптических дифференциальных операторов. В работе рассматривается задача суммирования класса расходящихся рядов. Предлагается метод вычисления поправок теории возмущений для дифференциального оператора с потенциалом на действительной проективной плоскости. Метод применим, в частности, для суммирования рядов с факториальным ростом членов.
Ключевые слова
Дифференциальные операторы, спектральная теория, регуляризованные следы, теория возмущений, собственные числа.
1. Буслаев, В.С. О формулах следов для дифференциального сингулярного оператора Штурма – Лиувилля / В.С.Буслаев, Л.Д. Фадеев // ДАН СССР. – 1960. – Т.132. – № 1. – С. 13-16.
2. Буслаева, В.С. Формулы следов для оператора Шредингера в трехмерном пространстве / В.С. Буслаева // ДАН СССР. – 1962. – Т. 143. – №5. – С. 1067-1070.
3. Гасымов, М.Г. О сумме разностейсобственныхзначений двух сингулярных операторов Штурма – Лиувилля /М.Г.Гасымов, Б.М. Левитан // ДАН СССР. – 1963. – Т. 151. – №5 – С. 1014-1017.
4. Гасымов, М.Г. Осумме разностей собственных значений двух самосопряженных операторов / М.Г. Гасымов // ДАН СССР. – 1963. – Т. 150. – №6. – С. 1202-1205.
5. Гельфанд, И.М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка / И.М. Гельфанд, Б.М. Левитан // ДАН СССР. – 1953. – Т. 88. – №4. – С.593-596.
6. Дикий, Л. А. Формулы следов для дифференциальных операторов Штурма – Лиувилля / Л. А. Дикий // Успехи матем. наук, – 1958. – Т. 13. – Вып. 3. – С. 111-143.
7. Дубровский, В.В. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи Орра-Заммерфельда/ В.В.Дубровский, С.И.Кадченко, В.Ф.Кравченко, В.А. Садовничий // ДАН. – 2001. – Т. 378. – № 4. – С.443-446.
8. Дубровский, В.В. Проблема решения задач на собственные значения для дифференциальных операторов со сложным вхождением спектрального параметра / В.В.Дубровский, О.А. Торшина // Новые мат. методы. Электромагнитные волны и электронные системы. – 2002. – №9. – Т. 7. – С. 4-10.
9. Дубровский, В.В. Формула первого регуляризованного следа для дифференциального оператора Лапласа – Бельтрами / В.В.Дубровский, О.А. Торшина // Дифференциальные уравнения и их приложения. Самара. – 2002. – С. 9-19.
10. Садовничий, В.А. Замечание об одном новом методе вычислений собственных значений и собственных функций дискретных операторов / В.А.Садовничий, В.В. Дубровский // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. М.: МГУ. – 1994. – В.17. – С. 244-248.
11. Садовничий, В.А. Оединственностирешенияобратныхзадачспектральногоанализа / В.А.Садовничий, В.В.Дубровский, Л.В. Смирнова// ДокладыАкадемиинаук. – 2000. – Т. 370. – № 3. – С. 319.
12. Смирнова, Л.В. Квопросуоматематическоймоделивосстановлениягладкихпотенциалов в обратной задачи Дирихле для n-мерного случая / Л.В. Смирнова//Математическое и программное обеспечение систем в промышленной и социальной сферах. – 2013. – № 1 (3). – С. 11-17.
13. Смирнова, Л.В. К вопросу о математической модели восстановления гладких потенциалов в обратной задачи Дирихле для 2-мерного и 3-мерного случаев / Л.В. Смирнова //Математическое и программное обеспечение систем в промышленной и социальной сферах. – 2012. – № 2. – С. 57-66.
14. Смирнова, Л.В. Математическая модель восстановления гладких потенциалов в обратных задачах спектрального анализа / Л.В. Смирнова //диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Челябинск, – 2002.
15. Тамаркин, Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды / Я.Д. Тамаркин // Петроград. – 1917.
16. Торшина, О. А. О следе дифференциального оператора с потенциалом на проективной плоскости / О.А. Торшина // Вестник Челябинского государственного университета. – 2003. – Т. 3. – № 3. – С. 178-191.
17. Торшина, О. А. Следы дискретных операторов с частными производными / О.А. Торшина // Альманах современной науки и образования. – 2012. – № 4. – С. 220-222.
18. Торшина, О.А. Алгоритм вычисления регуляризованного следа оператора Лапласа – Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости / О.А. Торшина // Вестник Магнитогорского государственного университета. –2003. – №4. – С. 183-215.
19. Трофимов, С.В. Методы развития систем промышленного железнодорожного транспорта в изменяющихся условиях деятельности предприятий / С.В. Трофимов, А.Н. Рахмангулов, С.Н. Корнилов – Магнитогорск, 2004.
20. Фадеев, Л.Д. О выражении для следа разности двух сингулярных дифференциальных операторов типа Штурма – Лиувилля /Л.Д. Фадеев // ДАН ССР. – 1957. – Т.115. - №35. – С.878-881.
21. Birkhoff, G.D. On the asymptotic character of the solutions of the certain linear differential equations containing parameter / G.D.Birkhoff // Trans Amer. Vath. Soc. – 1908. – V. 9. – P.219-231.
22. Sadovnichii, V.A. Uniqueness of solutions to inverse eigenvalue problems / V.A. Sadovnichii, V.V. Dubrovskii, L.V. Smirnova // Doklady Mathematics. – 2000. – Т. 61. – № 1. – С. 67-69.
23. Smirnova, L.V.Infinite sequences not affecting the unique recovery of the potential / L.V.Smirnova, O.A.Torshina // Applied and Fundamental Studies: Proceedings of the 4th International Academic Conference. November 29-30, 2013, St. Louis, USA. Publishing House Science and Innovation Center, Ltd., – 2013.
24. Weil, H. Das asymptotische Verteilungsgesaz der Eigenverte linearer partiel-ler differential gleichungen (mit einer Anwendung auf Theoril Hohraumstrahlung) / H.Weil // Math. Ann. – 1912. – №71. – P. 441-479.
Смирнова Л.В., Торшина О.А. Вычисление поправок теории возмущений на проективной действительной плоскости // Математическое и программное обеспечение систем в промышленной и социальной сферах. – 2014. – №2. – C. 24-34.